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继续进行“换句话说”。从单纯的解方程角度，变换到“独立性”和“秩”

dependence（独立性）
1. dependent（独立的）：
  1. $a_{1} v_{1} + a_{2} v_{2} + \dots + a_{n} v_{n} = 0 $ $ ，只有全 0 解（所有 a 都是 0 ）$
2. independent（不独立）
  1. $a_{1} v_{1} + a_{2} v_{2} + \dots + a_{n} v_{n} = 0 $ $ ，不只有全 0 解$
  2. $v_{i} $ $ 是 0 向量， $ $ n \geq 1 $ $ （是的，就算只有一个 0 向量，也不独立）$
  3. A的列空间独立，则只有唯一解
  4. A的列空间不独立，则有无穷解
  5. 证明“A的列空间不独立，则有无穷解”：
    1. $A x = b \to A (u + v) = 0 + b \to A u = 0, A v = b$
    2. u来保证齐次，因为A不独立，所以 u 存在，且有无穷个
    3. 前提是有解，所以 v 存在
rank（秩）and nullity（核）
1. rank = 最大的线性相关列的数量
2. 对于一个 m×n 矩阵 A：$$\text{rank}(A)+\text{null}(A)=n$$
3. 满秩 + 有解 = 唯一解